پاسخ فعالیت صفحه 99 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۹۹ حسابان یازدهم سلام! این فعالیت برای اثبات **روابط مثلثاتی زوایای قرینه** ($\mathbf{-\alpha}$) استفاده می‌شود. زاویه $-\alpha$ و $\alpha$ نسبت به محور $x$ قرینه هستند و لذا نقاط انتهایی آن‌ها ($Q$ و $P$) نیز نسبت به محور $x$ قرینه خواهند بود. 🔄 ### ۱. شناسایی مختصات نقاط * **نقطه $P$ (انتهای کمان $\alpha$)**: $P(x_P, y_P) = P(\mathbf{\cos \alpha}, \mathbf{\sin \alpha})$ * **نقطه $Q$ (انتهای کمان $-\alpha$)**: $Q(x_Q, y_Q) = Q(\mathbf{\cos (-\alpha)}, \mathbf{\sin (-\alpha)})$ ### ۲. تکمیل رابطه اول (مختصات $x$) با توجه به قرینه بودن $P$ و $Q$ نسبت به محور $x$: $$\mathbf{x_Q = x_P}$$ $$\implies \mathbf{\cos(-\alpha) = \cos \alpha} \quad \text{(داده شده)}$$ ### ۳. تکمیل رابطه دوم (مختصات $y$) مختصات $y$ نقطه $Q$ (که در ربع چهارم است) قرینه مختصات $y$ نقطه $P$ (که در ربع اول است) است: $$\mathbf{y_Q = -y_P}$$ $$\implies \mathbf{\sin(-\alpha) = -\sin \alpha}$$ **نتیجه‌گیری**: $$\mathbf{\cos(-\alpha) = \cos \alpha}$$ (تابع کسینوس **زوج** است) $$\mathbf{\sin(-\alpha) = -\sin \alpha}$$ (تابع سینوس **فرد** است)

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ب صفحه ۹۹ حسابان یازدهم حالا که روابط سینوس و کسینوس زوایای قرینه را داریم ($\mathbf{\cos(-\alpha) = \cos \alpha}$ و $\mathbf{\sin(-\alpha) = -\sin \alpha}$)، می‌توانیم روابط تانژانت و کتانژانت را نیز از طریق تعریف آن‌ها به دست آوریم. 🧐 --- ### ۱. محاسبه $\tan (-\alpha)$ $$\tan (-\alpha) = \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)}$$ با جایگذاری روابط به دست آمده از قسمت الف: $$\tan (-\alpha) = \frac{-\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ $$\tan (-\alpha) = -\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) = \mathbf{-\tan \alpha}$$ **نتیجه**: تابع تانژانت **فرد** است. --- ### ۲. محاسبه $\cot (-\alpha)$ $$\cot (-\alpha) = \frac{\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)}$$ با جایگذاری روابط به دست آمده از قسمت الف: $$\cot (-\alpha) = \frac{\cos \alpha}{-\sin \alpha}$$ $$\cot (-\alpha) = -\left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) = \mathbf{-\cot \alpha}$$ **نتیجه**: تابع کتانژانت **فرد** است.